Lorsque l'enfant a atteint le stade des opérations concrètes, deux types d'opérations apparaissent :

• Les opérations logico-mathématiques : elles organisent les quantités, les objets discontinus et sont fondées sur les différences entre les éléments, leurs ressemblances ou leurs équivalences. Elles conduisent aux notions de sériations, de classification et de nombre.

• Les opérations infra-logiques: elles portent sur les quantités continues et sont fondées sur les voisinages et les séparations. Elles amènent aux notions d'espace, de temps, de constitution de l'objet en tant que tel, et sont à l'origine de la mesure.

Les structures des opérations concrètes, ou groupements, sont en fait des systèmes de transformations mais ne pouvant être effectuées que par rapport à un invariant. Au stade qui nous intéresse, la conservation de ces invariants est l'un des meilleurs critères de l'opérativité de l'enfant. Les épreuves piagétiennes permettent justement d'évaluer si l'enfant a acquis ce critère de conservation ou pas. Si c'est le cas, au stade opératoire, lorsque l'on soumet un enfant à une épreuve, celui-ci maintient l'invariance de la quantité quelque soient les transformations apportées. Pour cela, il utilise des arguments solidaires qui sont soit :

• L'argument d'identité : ex : " C'est pareil parce qu'on a rien ajouté ni enlevé. ".

• L'argument de réversibilité : ex : " on peut refaire la boulette B pour qu'elle redevienne comme la boulette. A.".

• L'argument de compensation : ex : " C'est pareil parce que B est plus long mais plus mince et que A est plus court mais plus gros.".

Nous allons maintenant voir les différents concepts auxquels nous amènent les opérations logico-mathématiques :

La classification

Il s'agit de classer les objets, de les grouper, selon leurs critères communs. Le développement de cette notion chez l'enfant se fait selon un processus de différenciation et de coordination simultané entre la compréhension et l'extension des classes. La compréhension étant ce qui rassemble les caractères communs s'appliquant aux objets qui composent une classe et l'extension étant ce qui concerne l'ensemble des objets auxquels s'appliquent les caractères communs. Le processus cité ci-dessus permet d'acquérir la notion de l'inclusion logique des parties dans le tout. Cette dernière suppose la conservation de la classe totale, c'est-à-dire une quantification exacte et durable des relations entre la classe totale et les sous-classes qui la composent. L'épreuve piagétienne souvent utilisée pour illustrer cette notion est l'épreuve de quantification de l'inclusion.

Ex : avec les fleurs et des primevères : s'il y a un bouquet de 6 fleurs et 6 primevères, il faut que l'enfant comprenne qu'il y a plus de fleurs que de primevères à la question " Y a t' il plus de primevères ou plus de fleurs ? "puisque les primevères font également partie de la classe des fleurs. Cette notion n'est pas évidente pour l'enfant, il n'est pas facile de comprendre que la partie est plus petite que le tout.

La sériation

Il s'agit d'une construction dont le critère est la compréhension de la transitivité.

Ex : avec 10 bâtonnets de longueurs différentes : avant le stade des opérations concrètes, l'enfant fait des couples de 2 ou 3 bâtonnets ou alors il arrive à faire un ordre croissant mais par tâtonnement. Une fois arrivé à ce stade, il comprend que si A<B et Que B<C alors A>C ; c'est ce phénomène qui est appelé la transitivité. Ainsi l'enfant arrive à construire du premier coup la série A<B<C<D<E<F... en utilisant une méthode systématique.

La construction du nombre

Avant sept ans environ, l'enfant n'a pas une notion opératoire du nombre et il n'arrive pas à la conservation des ensembles numériques. Par exemple si l'on place 5 jetons avec 5 autres jetons en correspondance terme à terme et qu'ensuite on réparti l'une des lignes en 2 + 3, un enfant pré-opératoire pensera que la quantité de celle-ci a changé et il maintiendra cette inégalité même si dans les deux cas il y a 5 jetons. C'est l'acquisition des structures de classification et de sériation qui permettent à l'enfant d'accéder à la conservation du nombre et à comprendre qu'un nombre n'existe pas seul mais qu'il fait partie d'un système, d'une suite de nombres. Les concepts suivants font partie des opérations dites infra-logiques.

Les opérations infra-logiques

L'espace

A partir du stade opératoire, l'espace euclidien et l'espace projectif se constituent. Ils se construisent ensemble mais parallèlement l'un à l'autre et sont tous deux dérivés de l'espace topologique ; le premier espace se constituant du stade sensori-moteur. L'espace topologique est inhérent à l'objet, il en exprime les propriétés intrinsèques ; il constitue les objets eux-mêmes avec leur propre espace. L'espace projectif et l'espace euclidien situent les objets et leurs configurations selon un ensemble ; c'est-à-dire, les uns par rapport aux autres dans un système de relations. L'élaboration projective est le fait que l'enfant coordonne les différents points de vue de l'objet dans un plan spatial, qu'il ne les considère plus eux-mêmes mais par rapport à l'environnement. C'est dans cet espace que l'enfant acquière la notion de la droite. Dans l'élaboration euclidienne, l'enfant coordonne les objets entre eux par rapport à un axe de coordonnés stable ; cet axe exige la conservation des dimensions attribuées à l'objet. L'acquisition de ces espaces permet à l'enfant d'acquérir notamment la conservation des surfaces ; alors qu'auparavant il se basait sur ses impressions perceptives directes, l'enfant développe un processus d'intuition simple, fondé sur la représentation élémentaire. Ensuite cette intuition devient articulée, elle porte sur les transformation appliquées aux objets.

Le temps

A ce stade, le temps devient objectif grâce à une construction opératoire. En effet, avant ce stade, le temps est considéré comme un temps vécu et est lié à l'action, l'enfant n'a pas de représentation mentale donc ce temps reste subjectif. La notion de la construction temporelle repose également sur les structures que l'enfant a mis en place précédemment (sériation, classification...). Toutes les structures que l'enfant acquière à ce stade lui permettent également d'accéder au système de mesure et à la notion de vitesse mais ceci seulement vers la fin du stade car ces structures dépendent de celles acquises antérieurement. Ainsi au stade opératoire l'enfant acquiert une logique qui s'applique au réel. De plus, ce stade marque la domination de l'aspect opératif de la pensée sur l'aspect figuratif et l'enfant arrive à une décentration qui lui permet la coordination réversible des actions intériorisées ainsi que la constitution de systèmes opératoires de transformations ayant des invariants. En effet, les régulations représentatives du stade pré-opératoire deviennent générales et déductives ; l'enfant parvient aux opérations. Pour y arriver il passe par un tâtonnement puis l'itération des mêmes actions lui permet, par exemple dans la sériation, de classer rapidement des bâtons en se basant sur la transitivité. Il s'agit ici de relation additive. Et lorsque l'enfant tient compte de deux dimensions, par exemple la longueur et la grosseur, on parle alors de relations multiplicatives ; dès que la décentration est complète, l'enfant est capable de considérer ces deux dimensions simultanément et donc de parvenir au stade des opérations concrètes.

Nous avons vu que l'un des arguments utilisé par l'enfant pour expliquer la conservation, l'invariance, est la réversibilité. Ce concept mérite d'être explicité car il a une grande importance dans l'évaluation du stade, ou sous-stade, auquel appartient l'enfant dans les épreuves piagétiennes auxquelles il est soumis.

La réversibilité

La réversibilité est la capacité qu'a l'enfant de concevoir toute action comme ayant son inverse. C'est-à-dire que quelles que soient les transformations sur la forme de l'objet, la quantité reste identique et donc, l'objet qui retrouvera sa forme initiale aura la même quantité.
La réversibilité est l'un des trois arguments de la conservation de la quantité (avec l'identité et la compensation) et est acquise au stade Opératoire. A ce moment, l'enfant s'intéresse aux processus de transformation et non plus aux états qui lui paraissent distincts. Il va se préoccuper des deux dimensions de l'objet. Par exemple, lorsque Piaget montre deux boules de pâte à modeler de quantité identique et qu'avec une il fait un saucisson, l'enfant va dire qu'il n'y a pas de changement de quantité car la longueur est compensée par l'étroitesse. La réversibilité implique donc la réciprocité et l'inversion de l'action.

Il ne faut pas confondre réversibilité avec renversabilité. La renversabilité est une notion appartenant à la période Pré-Opératoire. L'enfant de ce stade développemental n'a pas encore acquis la conservation de la quantité. Il ne considère qu'une seule dimension de l'objet ou parfois deux mais sans toutefois les coordonner. Néanmoins, il sait intuitivement que si l'objet transformé revient à sa forme initiale, il aura la même quantité qu'avant la transformation. Si l'on reprend l'exemple précédent, l'enfant pensera que le saucisson est plus grand car il est plus long soit qu'il est plus petit car il est plus étroit ; donc selon lui les quantités auront changé. Cependant, l'enfant saura que si l'on remet le saucisson dans sa forme initiale, les deux boules auront à nouveau la même quantité.

Dans les pages suivantes, nous analyserons l'épreuve piagétienne de la conservation du nombre. En effet, cette épreuve permet d'illustrer plusieurs points importants du développement cognitif de l'enfant. Avant environ sept ans, l'enfant ne parvient pas à une notion opératoire (action évocable en pensée et réversible) du nombre. Il est capable d'apprendre verbalement une suite de nombres (quotité) cependant ceci n'implique pas qu'il accède à la conservation des ensembles numériques. Par exemple, un enfant ayant mis en correspondance cinq jetons avec cinq autres, croira qu'une des rangées transformée (plus espacée) aura plus de jeton que l'autre car elle lui paraîtra plus grande. La non-conservation du nombre est due au fait que l'enfant se centre successivement sur les différentes configurations de l'objet sans les relier entre elles. Après sept ans (environ) l'enfant parvient à l'idée opératoire du nombre en s'appuyant sur deux structures opératoires qui se constituent en même temps : les structures de la logique de la classification et de la sériation. Ce n'est donc qu'à partir du moment où l'enfant parvient à compenser les transformations en jeu, c'est-à-dire à les relier en un système unique et solidaire, qu'il admet la conservation. Ainsi, le nombre se construit de façon opératoire à partir d'un niveau de non-conservation.

Dans sa théorie, Piaget distingue trois niveaux dans la genèse du nombre correspondant à trois étapes exprimant le passage des opérations qualitatives aux opérations quantitatives (de nombre). Cette évolution vers une conservation opératoire du nombre se déroule de la période pré-opératoire au stade des opérations concrètes lors desquelles se succèdent dans l'ordre, une évaluation perceptive globale, une correspondance sans équivalence durable et une correspondance numérique maintenue grâce à la fermeture de la logique (et des arguments qu'elle implique). Nous verrons dans la page suivante ce qu'il en est de la correspondance.